正实数a、b、c、d满足a+b+c+d=1，设p=√（3a+1）+√（3b+1）+√（3c+1）+√（3d+1）
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解:
因为a,b,c,d均为正数，且a+b+c+d=1，所以必有0<a,b,c,d<1
P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f(x)=√(3x+1)的图像，显然可以发现其图像一定在点(0,1)和(1,2)这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y=x+1
所以可以发现在在(0,1)上恒有√(3x+1)>x+1
当然这样只是画图所得，未必准确，所以还要严格证明，证之如下：
上式两边平方得：3x+1>x^2+2x+1
<=>x^2-x<0
<=>x(x-1)<0
而此时x∈(0,1)，可见上式显然成立。
所以我们有：
√(3a+1)>a+1
√(3b+1)>b+1
√(3c+1)>c+1
√(3d+1)>d+1
以上四式相加得P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)>a+b+c+d+4=5
即有P>5。
因为a,b,c,d均为正数，且a+b+c+d=1，所以必有0<a,b,c,d<1
P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f(x)=√(3x+1)的图像，显然可以发现其图像一定在点(0,1)和(1,2)这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y=x+1
所以可以发现在在(0,1)上恒有√(3x+1)>x+1
当然这样只是画图所得，未必准确，所以还要严格证明，证之如下：
上式两边平方得：3x+1>x^2+2x+1
<=>x^2-x<0
<=>x(x-1)<0
而此时x∈(0,1)，可见上式显然成立。
所以我们有：
√(3a+1)>a+1
√(3b+1)>b+1
√(3c+1)>c+1
√(3d+1)>d+1
以上四式相加得P=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)+√(3d+1)>a+b+c+d+4=5
即有P>5。
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