Question

关于函数极限的局部保号性的理解问题

定义证明中取A/2，只表示，在领域里找到了一个数使f(x)>0，即在领域里存在f(x)>0，不能证明在领域里f(x)恒大于0呀？ 不是恒大于和恒小于那还怎么在保号？ 还有当A=0时，就没有保号性了？

Answer 1

不是这样的
先看保号性的证明：
先有函数f(x)在x→x0(注意：x0可以是具体数，也可以是无穷)时，存在极限A>0（A<0也可以，只是后面的符号都要取反而已）
根据ε-δ定义：
任意ε>0，存在δ>0，使|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε
因为ε的任意性，故取定ε0=A/2
那么存在δ>0，使|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε0=A/2
即有：f(x)>A/2
保号性得证

我们可以看到，只要函数在某点有极限，那么图像在这点的附近(或专业点叫：某个邻域内)就一定会大于A/2（不单是0，可以是某个具体的数）；并不是单单找一个数使成立，而是找一个范围，使得在这个范围内都成立

之所以叫做“局部”就是因为这个是一个局部性质，不能够超越其限制范围，这与“恒”这类整体性质是很不同的
之所以叫做“保号性”就是因为利用这个性质，可以判定某个局部的符号问题：
上面说过，f(x)会在某个局部大于A/2(A>0)那么f(x)在这个局部当然会大于0了
当然，f(x)会在某个局部小于A/2(A<0)那么f(x)在这个局部当然会小于0了
这里的保号是强调在某个范围（局部）内保号，并非整体保号

当然了，当A=0时，保号性的确不存在，从证明中就可以看出
要用保号性，必须要和“ 0 ”拉开距离

有不懂欢迎追问

追问

任意ε>0这个不是任意小的正数吗？如果极限A是一个很大的数呢？A/2也很大呀，那么ε还可以等于A/2吗？

追答

ε是一个任意数，其实既可以任意小，也可以任意大
而在写定义的时候，我们只强调ε任意小的属性，
但其实，既然已知|f(x)-A|任意小，当然这东西会小于任何一个已取定的数了，注意是已取定
那么，A/2是取定的
不论A有多大，都只是一个定数（不能是无穷，无穷不是数）
一个已知是任意小的东西|f(x)-A|当然会小于A/2了

要注意，
任意ε>0，存在δ>0，使|x-x0|0，使|x-x0|<δ，有|f(x)-A|<ε0=A/2…………这个不再是定义，而是一个事实
千万不要混淆了，我是从定义中找出一种情况（这情况是一个事实）
有不懂欢迎追问

Answer 2

局部的保号性取³＞A/2只是陈述客观事实，³是无限趋近于0的数，就如－1＜2＜5和1＜2＜3，它的值只存在于2的周围，当然1到3的范围当然小于-1到5的范围，直到³无限趋近于0的范围，也就是无论世界多么大，我只在你身旁(给妹子写情书很有用哦♡)只是用³等于A/2来陈述³在f(x)的极小的周围这个事实而已，才是真正的极限³的定义，并且在极限的定义中A是一个常数或者为0不存在无穷小无穷大的说法，也就是³的虽然取值任意，但是取值是无穷小的范围内取值与A不是一个数量级的O/C(C是常数，O是无穷小)，无论如何³也不等于一个常数C，因此取值为A÷2只是为了相对于³较大范围的说明保号性的事实。其中若是A取0，则根据极限的定义A－³＜f(x)＜A＋³，其中³无论取多么小它依然存在，左侧无论何时都小于0，所以在0点也就不存在保号性了，0也就理所当然的成为保号性定义的特殊点。希望对你有帮助(纯手工制作)

Answer 3

函数极限的局部保号性和保不等式性(老黄学高数第90讲)