Question

求下列函数值域。过程要详细！！！

y=5-x+√（3x-1） y=x+√（1-2x）

Answer 1

（1）
y=5-x+√(3x-1),y'=-1+3/2√(3x-1).令y'=0得x=13/12.当x<13/12时,y'>0,y是增函数.
当x>13/12时,y'<0,y是减函数.所以y(max)=y(x=13/12)=65/12.
至于y的最小值,x=1/3时,y=14/3,x→+∞时y→-∞这是因为y'→-∞.
所以y的值域为(-∞,65/12).

（2）
当x增大，-2x减小，1-2x减小，√1-2x减小，-√（1-2x）增大
总共随着x增大，y增大
因为1-2x≥0
解得x≤0.5
当x=0.5的时候，ymax=0.5
当x→-∞，ymin→-∞
即值域是（-∞，0.5]

追问

咳咳，第二错的 答案是（-∞，1] 顺便问下 y'=-1+3/2√(3x-1). 怎么来的

追答

- -换一种思路的话
设t=√（3x-1),则t>=0,x=(t^2+1)/3,
y=5-x-√(3x-1)=5-(t^2+1)/3-t
=-(t^2+3t-14)/3,记为g(t)(t>=0),它是减函数，
∴g(t)=1/3)是减函数，也可得到上述答案

追问

额，第一种我也这样想，算出来也是（-∞，14/3]. 但是答案是(-∞,65/12】...。 第二题求解！！！

追答

第二题符号看错了- - 这样解
利用判别式，把y看作是x的参数。
y-x=√(1-2x)
y^2-2xy+x^2=1-2x
x^2-2(y-1)x+(y^2-1)=0
△=[-2(y-1)]^2-4(y^2-1)≥0
∴y≤1
即值域是（-∞，1]

追问

嗯，第2题懂了，第一题额，算出来是是（-∞，14/3]. 但是答案是(-∞,65/12】

追答

使用还原法：令t=根号下3x-1（t大于等于0），则整理得x=(t的平方+1)/3,则y=5-(t的平方+1)/3+t,进行配方，y=-1/3(t-3/2)的平方+65/12，由此，值域为（负无穷，65/12]法二：导数法求导得y的导数是-1+3/2乘根号下3x-1，令之为零，x=13/12,带入求出极大值（最大值）为65/12,无最小值，结果（-∞，65/12]