Question

设集合A=﹛x／x²－3x＋2=0﹜，B=﹛x／x²＋2﹙a＋1﹚x＋﹙a²－5﹚=0﹜

⑴若A∩B=﹛2﹜，求实数a的值
⑵若A∪B=A，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）2属于B，所以4+4(a+1)+a^2-5=0,a^2+4a+3=0,a=-1或a=-3
(2)A={1，2｝，A∪B=A,B是A的子集，B=空集，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝
B=空集，判别式=8a+24<0,a<-3
B={1},8a+24=0,1+2(a+1)+a^2-5=0无解
B=｛2｝，8a+24=0，4+4(a+1)+a^2-5=0,所以a=-3
B={1,2} 1+2(a+1)+a^2-5=0,4+4(a+1)+a^2-5=0,无解
综上a的取值范围是（-无穷，-3】

追问

判别式=8a+24 哪来的

追答

（2（a+1))^2-4(a^2-5)=8a+24

Answer 2

A={1,2}，
(1)若A∩B=﹛2﹜，则2是方程 x²＋2﹙a＋1﹚x＋﹙a²－5﹚=0的根，
所以 4+4(a+1)+a²-5=0
即 a²+4a+3＝0，解得 a=-1或a=-3
a=-1时，方程化为 x²-4=0，解得 x=2或x=-2，满足条件；
a=-3时，方程化为 x²-4x+4=0，解得 x=2，也满足条件，从而a=-1或a=-3
(2)若A∪B=A，则B是A的子集，B分三种情况。
①若B是空集，则 ⊿=4(a+1)² -4(a²-5)<0，即 2a+6<0，a<--3
②若B中有一个元素，则⊿＝0，解得 a=-3，此时，方程化为 x²-4x+4=0，解得x=2，符合题意，
③若B中有二个元素，则B={1,2}，从而 1+2=-2(a+1)且 1*2=a²-5，无解。
从而 a的取值范围是 a≤－3