Question

数学难题！想了好久都想不出到底该怎么做？

个人觉得morpheus_xg 的这个做法真的已经非常不错了，但是数学是一门非常严谨的学科，我觉得有一点他还不够严谨，那就是他很主观的把C'P＞B'P同时B''R＞A''R，这就直接导致了A''D'肯定小于B''E'，换句话说这个结果不是推导出来的，现在如果要用反证法的话，就应该用AP=BQ=CR的对立面AP≠BQ≠CR，而不单单只是AP<BQ<CR这一种情况，咱不能以偏概全啊，对不对，那么现在我来做另外一种情况：取C'P＞B'P不变，B''R＜A''R，简单一点的做法就是把B''、A''两点相互调换一下位置即可，过程还是不变，推导出结果仍然是：A''D'=B''E'但由于此时情况是B''R＜A''R，不需要证明都应该可以看得出存在A''D'=B''E'的这种情况。所以就与他题目假设的就没有了矛盾，也就意味着他的反证不成立了； 总而言之，当AP≠BQ≠CR时，就会有C'P>B'P，并且B''R<A''R的这种情况，而在这种情况下推导出最后的结果A''D'=B''E'仍然成立，进而AP≠BQ≠CR也成立。毕竟咱学识有限，很多地方看的还并不是很全面，不然也不会来提问了，如果俺哪里说的不对或者有纰漏的地方还望各位高手以及大神能指出，谢谢！

Answer 1

证明过程如下图：

说实话是借鉴了别人的做法，参考资料里有此题的出处地址链接，看了很久才看明白并且觉得过程没问题，如果楼主有疑问，可以追问或者给我留言，希望能够帮到你。

Answer 2

该问题为非定解问题，△ABC可以是正三角形，也可以不是。
因为命题：
△ABC为正三角形，且AB=BE=CF，∠BAE=∠CBF=∠ACD满足时，△PQR是正三角形。
是成立的。
现在来看本问题，
大前提“AB=BE=CF”不变，仅仅 凭“△PQR是正三角形” 就可推出“△ABC为正三角形”吗？
楼主的问题是自己编的吧？

追问

世界之大无奇不有，做不出来的就静候吧！

Answer 3

好像只有一组对边和一组对角对应相等哦，为什么就全等了呢？！
两个三角形，只要一个角和这个角对应的边相等，那么这两个三角形就全等。
这是定理。不需要证明。

追问

是定理啊！还不需要证明哈！就说此题，三角形PQR为正三角形，∠QPR=∠DPA=60°
三角形DPA中，∠DPA=60°，∠DPA的对边是AD，按你说的定理：两个三角形，只要一个角和这个角对应的边相等，那么这两个三角形就全等。
那么是不是可以这样认为题目中的三角形DPA全等于以AD为边长的等边三角形呢？！还不需要证明，我想你初中的数学老师看到说不定肺都会气炸，俺笑而不语。

追答

这题目有问题，应该是先有正三角形ABC，然后才能画出三角形PQR，你倒好，先告诉大家PQR是正三角形，再去证ABC是正三角形，逻辑上都有问题，解不出来是自然的了。
就好比你父母很优秀，那么生出你也可能很优秀，因为遗传起着很重要的作用，再加上在其它很多因素的作用下，导致你很优秀。现在你反过来，你很优秀，要证明你父母也很优秀。这就不好证明了。

追问

我只能对你说一句话：人无知固然很可悲，但比之更可悲却是：明明很无知，但其却毫不知情抑或是虽知情却要硬生生地抛出一些荒谈谬论以拼命掩饰其无知的行为更可悲、可怜、可叹！

追答

谢谢你让我知道我很无知，更谢谢你为我悲、为我怜和为我叹！
同时我也希望你早日找到有知的人，带领我和其它可能和我一样无知的人脱离无知。

追问

无知本不是你的错，但把无知当无耻便你的错啦！

Answer 4

吾已经被此题折磨够了。好难啊。
不过搜到了数学吧一个大神的解法。很暴力的解析法。楼主可以去看看。
（好麻烦

Answer 5

先求证△ABE≌△BCF≌△CAD
得角BAE＝角CBF＝角ACD，角ADC＝角AEB＝角BFC
由上面两个结论，又因为三角形内角和为180°
得角APD=角BOE=角FCR
由对顶角相等，得三角形的三个内角相等，所以是等边三角形

追问

先求证△ABE≌△BCF≌△CAD
怎么证啊？！你一句话就变已知条件啦。
那你不直接说结果不更快？

追答

首先，大三角形不就是等边三角形
所以最外面的三条边相等，
然后三个大角又是60°，三个角相等
又因为已知三条小边相等，所以用SAS就可以证明全等啊

追问

没想到您就真的直接说结果啦，真是说什么就来什么，“首先，大三角形不就是等边三角形”
但是大三角形ABC好像就是要求证是等边三角形的，现在怎么变已知条件了呢？
那还证明什么啊？！直接一句话：“首先，大三角形不就是等边三角形”
从而大三角形ABC为正三角形，证毕！哇，多完美啊！

追答

哦，抱歉。条件和结论看反了。那你把我的过程发过来就是标准的过程了。

追问

恕俺愚钝，把你的过程发（这里应该是反字吧）过来看是吧？但还是没看明白，麻烦您好事做到底，把你的整个的过程详细的完完整整写一遍好吗？如果好的话再追加50分，决不食言。

追答

额，马上高二党的人做不出来，不好意思…………

Answer 6

虽然还不完美，不过我想出了一个很接近的方案，等我有时间，发给你看看，或许能给你启发

追问

耍我呢？！现在发不行么？！！

追答

我现在在工作确实没有时间，写详细的过程，不过我做的辅助线如图。你可以自己先看看，如果不行，我晚上给你写出来。作了三个辅助等边三角形加上已知中间的等边三角形，四个等边然后用比例关系，和给出的相等关系，可以得出c1=c2=c3..图比较粗糙，先给个意思

追问

看似有模有样，但没详细的步骤和过程哦，你现在没有时间那我也不催你了，不着急，慢慢来，晚上一齐写出一份详细的答案给我吧，如果好的话再追加50分。

追答

在原题中只要证明AP=RC=BQ 即可，我的方法可能有点复杂，假设他们不等，例如AP<RC<BQ，由于PRQ是等边三角形，把这些曲线都重叠在一个角上。如上图，不知道你能不能看懂，由已知的三条边相等，在这里就是右下角红线被截部分相等，可以再反证出，只有AP=RC=BQ时才可能 条件中的三边相等。

图中三条红线分别对应原题中的AB, BC,CA...能想通吗？

方法确实晦涩复杂，也期待有更简单的方法

追问

貌似有点看不懂，麻烦能把整个证明过程写的再详细点么？为什么就没反应了呢？！

追答

 

 

请看解答，希望你能满意,

关于A''D'<B''E'：由于R'A''<R'B'',P'B'<P'C',  A''D肯定是小于B''E‘,与已知矛盾。

另外对于AP=BQ>或者<CR的情况就不需要反证了，直接正面证明就可有得出结论。