Question

求证：cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb

Answer 1

如图，作单位圆O，半径为1；作∠AOB=a，∠BOC=b

作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，BF⊥OA于F

则 cosa=OF, sina=BF; cosb=OE, sinb=CE; cos(a+b)=OD

GD∥BF => GD/BF=OD/OF => GD=OD/OF*BF=cos(a+b)/cosa*sina            (1)

∠OGD=∠CGE, CD⊥OD, CE⊥OE => △OGD∽△CGE

=> GD/OD=GE/CE = tana=(OE-OG)/CE=(cosb-GD/sina)/sinb

整理，得  GD=sina*cosb-sina*sinb*tana                           (2)

(1)(2)式相等，得 cos(a+b)*sina/cosa=sina*cosb-sina*sinb*tana

两边同乘cosa/sina，即得 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb