Question

limx→0(cos(xe^x)-cos(xe^-x)+2x^3)/sinx^5

Answer 1

问：limx→0(cos(xe^x)-cos(xe^-x)+2x^3)/sinx^5

问：好的，谢谢

答：亲，你好，这是一个非常有趣的极限问题，需要运用到一些微积分的知识。首先，我们可以将分子中的cos函数进行化简。利用三角恒等式cos(a)-cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)，我们可以将分子化简为：-2sin(xe^x/2)sin(xe^-x/2) + 2x^3接下来，我们可以将分母sinx^5进行展开，得到：x^5 - (1/3!)x^7 + (1/5!)x^9 - ...因为x趋近于0，所以我们只需要考虑展开式中的前几项。将分子和分母代入极限式中，得到：limx→0 (-2sin(xe^x/2)sin(xe^-x/2) + 2x^3) / (x^5 - (1/3!)x^7)接下来，我们可以运用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：limx→0 (-2e^xsin(xe^x/2)cos(xe^-x/2) - 2xe^-xsin(xe^x/2)cos(xe^-x/2) + 6x^2) / (5x^4 - (1/2!)7x^6)再将x=0代入，得到：limx→0 (-2cos(0)cos(0) + 0) / (0 - 0) =

答：再将x=0代入，得到：limx→0 (-2cos(0)cos(0) + 0) / (0 - 0) = 0因此，原极限的值为0。