Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：∠ADB=45°

Answer 1

证明：延长CD与BA的延长线交于点F
∵∠BAC＝90，AB＝AC
∴∠ABE+∠AEB＝90，∠CAF＝∠BAC＝90，∠ABC＝∠ACB＝45
∵CD⊥BE
∴∠BDC＝∠BDF＝90
∴∠ACF+∠CED＝90
∵∠AEB＝∠CED
∴∠ABE＝∠ACF
∴△ABE≌△ACF （ASA），
∴BE＝CF
∵BE平分∠BAC
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC/2＝22.5
∴∠ACF＝22.5
∵BD＝BD
∴△CBD≌△FBD （ASA）
∴CD＝DF＝CF/2
∴D是CF的中点
∴AD＝CD
∴∠CAD＝∠ACF＝22.5
∴∠ADC＝180-∠CAD+∠ACF＝135
∴∠ADB＝∠ADC-∠BDC＝45°