Question

若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方,则m的取值范围

Answer 1

若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方
即关于x的不等式mx²+2mx+1>0恒成立，求m的取值范围
解：（1）当m=0时，已知不等式转化为 1 > 0 ，显然，对于x ∈ R恒成立，符合已知；
（2）当m≠0时，这个不等式含m，且关于x的一元二次函数，
对于x ∈ R不等式要恒成立，
即该一元二次函数f(x)=mx²+2mx+1=0无实根（⊿=b²-4ac＜0），
且函数图像恒位于x轴上方（即y=f(x)>0恒成立；此时，必须有m>0，抛物线开口向上），
则等价于：{ m > 0，
{ b²-4ac = (2m)² - 4*m*1 ＜0，解此不等式为：0 < m < 1
则此不等式组的解为：0 < m < 1
综上所述可得：若函数f(x)=mx2+2mx+1(m∈R)的图象恒在x轴上方，则 0 ≤ m < 1