Question

这个导数有大神会吗？

只会简单的第一题，其他题求过程

Answer 1

我将逐题为您解答。

①
(1) 当φ=0时，函数f(x)变为f(x) = 3x² - 8sin(x)。我们知道正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，所以对于函数f(x)来说，它的最小值为3x² - 8，最大值为3x² + 8。当最小值小于等于0时，即3x² - 8 ≤ 0，我们可以解得x ≤ √(8/3)，因此在x的取值范围[0, √(8/3)]内，函数f(x)有零点。
(Ⅱ) 要求f(x)≥0，即3x² - 8sin(x) ≥ 0。对于sin(x)来说，它的取值范围在[-1, 1]之间。所以当3x² - 8sin(x) ≥ 0时，我们可以得到两种情况：一是当3x² - 8 ≥ 0，即x ≥ √(8/3)，此时函数f(x)始终大于等于0；二是当3x² - 8sin(x) = 0，即3x² = 8sin(x)，此时可以解得x = 2sin(x)的正解，即x = 0，x = π/2，x = π。所以φ的取值范围为φ ∈ {0, π/2, π}。

②
(1) 当a=1时，函数f(x)变为f(x) = x²e^(1-x) - ln(x) - 1。我们可以对函数求导得到f'(x) = (2 - 2x)e^(1-x) - 1/x。通过对f'(x)进行符号分析，我们可以得到f'(x)在(0, 1)上单调递减，即f(x)在(0, 1)上单调递增。
(Ⅱ) 要求f(x)的零点个数，即解方程f(x) = 0。由于函数形式较复杂，这个方程可能无法解析求解。可以通过数值计算或图像分析来确定函数f(x)的零点个数。

3
(1) 函数f(x)可以重写为f(x) = a(x+1)^(a-1) - (a-1)(1-x)^(-a)，其中a∈(0, 1)。对于函数f(x)的单调性，我们可以对其求导得到f'(x) = a(a-1)(x+1)^(a-2) + a(a-1)(1-x)^(-a-1)。根据导数的符号分析，我们可以得到f'(x)在(0, 1)上单调递减，即函数f(x)在(0, 1)上单调递减。
(Ⅱ) 要证明当x∈(-1, 1)时，(1+x²)^(1/2) - (1-x²)^(-1/2) ≥ x²，我们可以对该不等式进行平方运算，得到(1+x²) - (1-x²)(1+x²) ≥ x^4，化简后即可得到x^4 + 2x^2 - 1 ≥ 0。这是一个二次方程，我们可以求解它的根，然后根据函数的凹凸性进行讨论。

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(Ⅰ) 首先我们要证明f(x₂ₙ)是递减数列。通过计算f(x)的导数f'(x)并进行符号分析，可以确定f(x)在x₂ₙ附近的单调性。对于x₂ₙ₊₁和x₂ₙ₊₂的位置关系，我们可以通过观察函数f(x)的图像或者进行具体计算来判断它们的大小关系。
(Ⅱ) 同样地，对于x₂ₙ₊₁和x₂ₙ+2π之间的大小关系，我们可以通过观察函数f(x)的图像或者具体计算来判断。
(Ⅲ) 对于f(x₂ₙ)−f(x₂ₙ₋₁)来说，我们可以计算它的差值并进行符号分析，以确定它是否是递增数列。

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(Ⅰ) 首先，我们要求函数f(x)的a的取值范围。可以通过对函数f(x)进行分析和求导，并结合题目给定的条件，来确定a的取值范围。
(Ⅱ) 函数r(x) = f(x-x₁) + f(x-x₂)，我们要讨论它的零点个数。可以将r(x)转化为一个新的函数，然后通过分析新函数的性质来确定零点的个数。这个过程可能需要进行具体的计算和符号分析。

希望以上解答对您有所帮助。如有任何疑问，请随时提出。