Question

高一数学题，求大神解答

设S满足下列条件的有理数集合：
（1）若a∈S，b∈S，则有a+b∈S，ab∈S
（2）对任意一个有理数r，下列三个关系：r∈S，-r∈S，r=0有且只有一个成立。
求证：S=Q+

Answer 1

i)先证1∈S.否则由(2)得-1∈S,再由(1)得1=(-1)(-1)=1∈S,与(2)矛盾.
ii)由1∈S得2=1+1∈S,3=2+1∈S,…,故一切正整数∈S.
与(2)矛盾然后：

m∈S，n∈S,那么m/n∈S(m,n都是正整数)

如果m/n不属于S，那么-m/n属于S

由于n∈S,那么(-m/n)*n=-m∈S

与m∈S矛盾

故m∈S，n∈S,那么m/n∈S

则S为全体正有理数

Answer 2

讨论：
1、S=0时，若r=0，则（2）条件不成立；
2、S＜0时，a<0,b<0,所以ab>0,则条件（1）不成立；
3、S>0时，条件（1）绝对成立，
当r=0时，（2）中有且只有r=0成立；
当r<0时，-r>0，有且只有-r∈S成立；
当r>0时，有且只有r∈S成立；
综上：S>0 即：S=Q+

追问

S不是集合么。。为什么有S=0..

追答

意思就是S中只有一个数就是0