Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{√(Sn+1)}是公比为2的等差数列

(1)，证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1=3 (2),设bn=5^n-(-1)^n×an(n∈N*),若bn<bn+1对n∈N*恒成立,求a1的取值范围

Answer 1

(1) 数列{√(Sn+1)}是公比为2的等比数列 => 数列{Sn+1}是公比为4的等比数列
=> Sn+1=4(S(n-1)+1) => an=Sn-S(n-1)=3(S(n-1)+1)=3*4^(n-2)*(S1+1)
=3*4^(n-2)*(a1+1)=4^(n-1)*a1+(3-a)*4^(n-2)
所以: 数列{an}成等比数列 <=> (3-a)*4^(n-2)=0 <=> 3-a=0 <=> a=3

Answer 2

你那个到底是公比=2还是公差=2？

追问

公比=2的等比数列

追答

1.证充分性：
因为(s(1)^0.5/(s(2)+1)^0.5=(s(2)+1)^0.5/(s(2)+1)^0.5=0.5
a(2)=3a(1)+3
a(3)=12a(1)+12
所以要使{a(n)}为等比数列
a(2)^2=a(1)a(3)
9(a(1)+1)^2=12a(1)(a(1)+1)
a(n)>0
9(a(1)+1)=12a(1)
a(1)=3
证必要性：
因为(s(n+1)+1)/(s(n)+1)=(s(n)+1)/(s(n-1)+1)=4
(s(3)+1)/(s(2)+1)=(s(2)+1)/(s(1)+1)=4
s(2)+1=4s(1)+4=4a(1)+4
a(2)=3a(1)+3
s(3)+1=4s(2)+4
a(3)=12a(1)+12
所以(3a(1)+3)^2=a(1)(12a(1)+12)
a(n)>0
a(1)=3
所以数列{an}成等比数列的充要条件是a1=3.
2.数列{an}为等比数列
a(1)=3,a(2)=3(a(1)+1)=12
q=a(2)/a(1)=12/3=4
a(n)=a(1)q^(n-1)=3*4^(n-1)
bn=5^n-(-1)^n×an,(n∈N*)
b(n)=5^n-(-1)^n*3*4^(n-1)
=5^n-3*(-4)^n/4
因为bn(5/4)^(n-1)
log(5/4)[3/4]=n-1
n=log+1
n=ln5/ln3+1>2
你的问题不清楚，请仔细核对。