Question

高分求解！！函数零点问题，求交点个数、

已知函数f(x)=x²-2lnx(a∈R)，求函数f(x)与函数g(x)=-x²+2x+k的图象的交点个数。
我画的这种情况只有一个交点啊！

Answer 1

令 h(x)=f(x)-g(x)=2x² -2x -k- 2lnx，
则h(x)的零点就是函数f(x)与g(x)图像的交点。
h'(x)=4x -2 -2/x=2(2x²-x-1)/x=2(2x+1)(x-1)/x ，
因为x>0，所以 x>1时，h'(x)>0，0<x<1时，h'(x)<0
从而 h(x)在（0，1）上是减函数，在（1，+∞)上是的增函数。
所以 当x=1时，h(x)有最小值为 h(1)=-k
(1)当k=0时，h(x)有一个零点为 x=1，即函数f(x)与g(x)图像有一个交点；
(2)当k>0时，h(1)=-k<0，从而 h(x)在(0,1)和（1，+∞)各有一个零点，即函数f(x)与g(x)图像有两个交点；
(3)当k<0时，h(x)的最小值h(1)>0，从而h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)图像没有交点。

追问

老师请回答。

追答

Answer 2

设h(x)=f(x)-g(x),对新函数求导，再分析导函数

追问

您能帮我算算嘛，给您磕头了。

追答

h(x)=2x² -2x - 2lnx-k，
h'(x)=4x -2 -2/x,令h'(x)=0得x=-1/2,1因为x>0,所以01时，h'(x)>0，h(x)递增，又因为h(1)=-k,所以(1)当k=0时，h(x)有一个零点为 x=1，即函数f(x)与g(x)图像有一个交点；
(2)当k>0时，h(1)=-k0，从而h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)图像没有交点。

Answer 3

两个交点。