Question

函数值域问题

函数f(x) = sin(x) / √(5+4cos(x)) (0<=x<=2π)
求该函数的值域
要过程，谢谢

Answer 1

令y=f(x)=sinx/√(5+4cosx)
那么y²(5+4cosx)=sin²x=1-cos²x
化简，得：cos²x+4y²*cosx+5y²-1=0
令t=cosx (-1≤t≤1)，那么t²+4y²*t+5y²-1=0
所以该方程有解，且解均在[-1，1]上
令g(t)=t²+4y²*t+5y-1，二次函数，开口向上，对称轴x=-2y²
那么Δ=16y^4-4(5y²-1)=4(4y²-1)(y²-1)≥0
g(-1)=y²≥0，g(1)=9y²≥0，-1≤-2y²≤1
所以0≤y²≤1/4，所以-1/2≤y≤1/2
即值域为[-1/2，1/2]

Answer 2

解析，
f(x)=sinx/√(5+4cosx)
【1】当sinx≥0时，f(x)=√sin²x/(5+4cosx)=1/2*√(1-cos²x)/(cosx+5/4)
运用配方法，f(x)=1/2*√[-(cosx+5/4)-9/{16*(cosx+5/4)}+5/2]
1≧cosx≥-1，因此，1/4≤cosx+5/4≤9/4
设t=cosx+5/4，
f(x)=1/2*√[-t-9/(16t)+5/2]≦1/2*√(-2*3/4+5/2)=1/2
当t=3/4时，f(x)(max)=1/2
当t=1/4或9/4，f(x)(mix)=0
故，0≦f(x)≦1/2
【2】当sinx＜0时，
f(x)=-√sin²x/(5+4cosx)=-1/2*√(1-cos²x)/(cosx+5/4)
同理，
解出，1/2≤f(x)＜0
综上可得，-1/2≤f(x)≤1/2