Question

函数可积的充要条件里有一条就是有界且只有有限个间断点。但不是说函数存在第一类间断点就没有原函数吗？

全书一个定理是说函数在【a，b】上可积，则变上限定积分是【a，b】上的连续函数。怎么那么矛盾啊？

Answer 1

并不矛盾啊
可以积分和有原函数并没有什么关系
虽然可以通过变上限定积分来得到连续函数
但是这个连续函数并不一定是处处可导的
所以这个连续函数不一定能够作为原函数

追问

那就是说可积就一定可以通过变上限积分得到一个一定连续的函数喽？只不过由于这个连续函数在有限点上的导数不存在，所以他不能叫做这个被积函数的原函数，是吧？

追答

是的
比如可以看f(x)=0(x0)
这个函数在有限区间上可积并且变上限定积分连续，但是0点不可导

追问

明白了，谢谢，不过还有一个一直困扰我的问题是一个连续函数的导数不存在第一类间断点的问题，你能对这方面说明一下吗，非常感谢

追答

有一个定理：
如果函数f(x)在[a,b]中可导，f'(x1)<c<f'(x2)，则必存在x∈(x1,x2)使f'(x)=c

如果存在第一类间断点，就会和这个定理矛盾

这个定理的证明可以利用中值定理

Answer 2

可积指的是函数和x轴围成的曲边梯形的面积是可以求出来具体数值的，和原函数没关系，有些函数原函数不存在但我们还是可以通过一些技巧求出定积分的。 而且，我不知道有第一类间断点的原函数不存在这个定理。