Question

有关定积分的问题

这道题是2013年李永乐复习全书数三微积分部分第165页的例3.59

Answer 1

因为：arctan(x)+arctan(1/x)=π/2
又有常数可以与定积分交换运算次序
首先有arctan(x)+arccot(x)=π/2，这是重要的等式
不妨令y=arccot(x)，即有：x=cot(y)=1/tan(y)
那么，tan(y)=1/x，即有：y=arctan(1/x)
那么有：arctan(1/x)=arccot(x)
因此：arctan(x)+arctan(1/x)=π/2
那么，只需要用换元法，令A=e^x
即有arctan(A)+arctan(1/A)=π/2
也就是：arctan(e^x)+arctan(e^(-x))=π/2
有不懂欢迎追问

Answer 2

最后一步可能是反推出来的。你将最后一等号前对括号内求正切三角函数，会发现它永远为无穷大，故可认为与X无关，就是л/2；