Question

已知函数f(x)=(log2x-2)(lo4x-1/2),2≤x≤4

1）求该函数的值域 （2）若f(x)≥mlog2x对于x∈【2,4】恒成立，求m的取值范围

Answer 1

1）
f(x)=(log2(x)-2)*[(log2x)/log2(4)-1/2]
=(1/2)[(log2(x)-2)(log2x-1)
令t=log2(x)=t,则1≤t≤2
2y=t^2-3t+2
因为函数的对称轴为t=3/2,定义域为【1，2】
所以函数t^2-3t+2的最大值为t(1)=t(2)=0
最小值为t(3/2)= -1/4
即 -1/4≤2y≤0
值域 y∈[-1/8,0]

(2)
f(x)=(1/2)[(log2(x)-2)(log2x-1))≥mlog2(x)
m≤[(1/2)[(log2(x)-2)(log2x-1)]/log2(x)
m≤[(1/2)[(t-2)(t-1)]/t=[t^2-3t+2]/(2t)=(t/2+1/t)-3 (t-log2(x) 且1≤t≤2)
m恒小右边，就是左边的m比右边的最小值还要小
而右边的最小值，
右=(t/2+1/t)-3≥2√[(t/2)*(1/t)-3=√2-3
所以m≤√2-3