Question

半径为R的球O中有一内接圆柱。当圆柱侧面积最大时，球表面积与该圆柱侧面积之差为？

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Answer 1

设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=4cosα，圆柱的高为8sinα，圆柱的侧面积为：32πsin2α，当且仅当α=π/ 4 时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：32π，球的表面积为：64π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32π．

故答案为：32π

追问

半径为R的球,R用不到吗？
好像不对吧....

追答

把R代入就可以了，夹角是a， 圆柱的高度就是2Rcosa， 圆柱地面半径就是Rsina，所以S圆柱侧是2π x Rsina x 2Rcosa 等于2πR2sin2a， 当sin2a=1时， S圆柱侧最大为2πR2， 所以S球表面-S圆柱侧就等于4πR2-2πR2=2πR2.
所以答案是2πR2

Answer 2

这个题，先利用勾股定理待定圆柱体的底面半径，再用已知条件求出圆柱的高与R的关系就OK了，有不明白的再问我奥

追问

呵呵，你真可爱，怎么个待定法呢？恕我愚钝，请大神详细解答

追答

设内接圆柱的高为h，底面半径为r，则有r^2=R^2-(h/2)^2成立吧，然后圆柱的侧面积S=2πrh,最后会出现一个根式，转化为在根号下配方求最值的问题，经运算当且仅当h=根号下R/2S时，S最大，然后就可以求解咯，嘿嘿