Question

已知函数f(x)=ax³-x²+1,求若方程f(x)=0有三个不同实数解,求实数a的取值范围.

求详解，顺便求此类问题的归纳总结。

Answer 1

不需要列不等式组

但是函数类的大题都要求导
f'（x）=3ax ²-2x
=x(3a-2)

一般地解法：极值对应的横坐标是 0 和2/3a（但是不知道哪个是极大值 哪个是极小值）
采用f（0）*f（2/3a）＜0
得（-2√3）/9<a<（2√3）/9 且a≠0

此题 f（0）=1 恒大于0
所以只需让f（2/3a）小于0就可以了
很多题都是这样的 其中一个极值等于a²+1恒大于0
只需令另一个值小于0就可以了
会让很多算式变得简单 符号的判断需要慢慢体会

对于三次函数实数解的问题
三个不同的实数解为 b²-4ac＞0 且 极大值*极小值<0
两个不同的实数解为 b²-4ac＞0 且 极大值*极小值=0
一个实数解为 b²-4ac≤0
注意等号

对于这种判断某些式子的符号和二次函数和三次函数的大概图象
很重要 尤其是三次函数的图象 要刻在脑子里！

Answer 2

a≠0
1
若a>0时，f '(x)=3ax^2-2x
令3a^x2-2x=0==》
x1=0; x2=2/3a
由于函数图像呈大写的N字样 ，也就是先增后减再增，
所以有三个不同的实数解的充要条件是
{f0)>0
{f2/3a)<0
1>0
a^2>4/27==>
a>2/3√3
所以a>2/3√3
2
a<0时，函数呈先减后增再减
x=0是导函数的大根，2/3a是小根，
{f(0)>0
{f(2/3a)<0与1）的表达式相同，在a^2>4/27中取a<-2/3√3
所以a< - 2/3√3或a>2/3√3

Answer 3

这个函数是三次函数，一般采用求导解决。
利用导数，确定出f(x)的极大值和极小值，由于方程f(x)=0要有三个根，则需要：
(1)极大值大于0，且(2)极小值小于0
解这个不等式组就可以了。