Question

设关于x的一元二次方程ax²+bx-3=0的两个实数根为x1，x2

设关于x的一元二次方程ax²+bx-3=0的两个实数根为x1，x2，且x1²+x2²=10，1/x1+1/x2=-2/3，求实数a，b的值
答案是a=1，b=-2

Answer 1

该方程的根为：[-b±√b^2-4a(-3)]/2,所以将两根带入式子，计算可得b²+6a=10,b=2a,在计算可得a=1或-5/2,b=2或-5

Answer 2

由韦达定理：两根之和即 x1+x2=-b/a.两根之积即 x1x2=-3.
由题设1/x1+1/x2=-2/3，得到2*x1x2=-3（x1+x2),
将此式加上x1²+x2²=10，就可以出现（x1+x2)²=10-3（x1+x2),
如果把(x1+x2)当成一个新未知数t, 就可以出现一个以t为自变量的一元二次方程t²+3t-10=0.
口算可以知道 ：t=-5或者t=2.下面自己就可以算出了。
【注】：在处理此类问题时，往往要用到(a+b)²=a²+b²+2ab这个极其要紧的等式。当然，我们也可以利用其他的方法。

追问

两根之积是-3/a吧。。

追答

哎呀，抱歉。对对对，两根之是-3/a。我少敲了一次项的系数。

Answer 3

由ax²+bx-3=0得 x1+x2=-b/a x1.x2=3/a
x1²+x2²=（x1+x2）²-2 x1.x2=（-b/a）²-6/a=10
即10a²+6a-b²=0
1/x1+1/x2=（x1+x2）/x1.x2=（-b/a）/（3/a）=-2/3
即b=2
所以10a²+6a-4=0
5a²+3a-2=0
a1=-1，a2=2/5
当a=-1，b=2时，b^2-4a*(-3)=4-4*(-1)*(-3)<0 所以，原方程没有实数根，因此舍去。所以，a=2/5，b=2。