Question

在△ABC中，∠C=90°，P为BC中点，PD⊥AB于D.求证AC²=AD²-BD²

Answer 1

证明：连接AP。
∵PD⊥AB
∴△ADP和△BDP为直角三角形。
根据勾股定理
AP²=AD²+DP² PB²=BD²+DP²
上面两式相减得到
AP²-PB²=AD²-BD²
在RT△ACP中根据勾股定理
AP²=AC²+CP²
即AC²=AP²-CP²
又P为BC中点
∴CP=BP
∴AP²-PB²=AP²-CP²=AC²
因此有AC²=AD²-BD²

Answer 2

提示一下，连接AP，就可以利用勾股定理相互替换，可得出结论。
AD^2=AP^2-PD^2
BD^2=BP^2-PD^2
两式相减的：AD^2-BD^2=AP^2-BP^2
其中：AP^2=AC^2+CP^2
代入上式：AD^2-BD^2=AC^2+CP^2-BP^2
因为P为BC的中点，所以CP=BP，则：AD^2-BD^2=AC^2，结论成立。