Question

求根号下（1-x^2）的定积分

Answer 1

利用第二积分换元法，令x=tanu

∫du√(1-x²)dx

=∫sec³udu

=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|zhisecu+tanu|-∫sec³udu,

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1-x²)dx=1/2(x√(1-x²)+ln(x-√(1+x²)))+C

扩展资料：

若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

利用第二积分换元法，令x=tanu

∫du√(1-x²)dx

=∫sec³udu

=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|zhisecu+tanu|-∫sec³udu,

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1-x²)dx=1/2(x√(1-x²)+ln(x-√(1+x²)))+C

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形。

然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

Answer 3

另Y=根号下1-X^2。两边同时平方得Y^2=1-X^2。移项得X^2+Y^2=1这是个以原点为圆心1为半径的圆。注意到原式根号。所以Y应大于零。取X轴上方的半圆。求积分即求函数图像与X轴围成封闭图形面积。即半圆面积为二分之派。

Answer 4

令x=sint(0<t<π/2),√1-x²=cost,则dx=cost
t=arcsinx,
∫1-x² dx
=∫cost*cost dt
=∫(cos2t+1)dt/2
=sin2t/4+t/2+C
=sintcost/2+t/2+C
=(x√1-x²)/2+arcsinx/2+C

Answer 5

打小数学就不行,