Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角BAC=90° AB=BB1=a 直线B1C与平面ABC成30°角

求证 1：面B1AC⊥面ABB1A1
2：求C1到平面B1AC的距离
3;求三棱锥A1-AB1C的体积

Answer 1

证明：1、 ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥AC
∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB
∴AC⊥面ABB1A1
∵AC⊂面B1AC
∴面B1AC⊥面ABB1A1
2、由直线B1C与平面ABC成30°角，得BC=√3a
从而易求得AC=√2a，B1C=2a,AB1=√2a，
∴RtΔB1AC的面积=AB1*AC/2= a^2，
设点C1到平面B1AC的距离为d，则（1/3）AB1*AC/2*d=（1/3）B1A1*AA1*AC
即a^2*d=a*a*√2a,∴d=√2a
3、三棱锥A1-AB1C的体积=三棱锥B1-AA1C的体积=（1/3）*（1/2）AA1*AC*B1A1
=（1/6）a*√2a*a
=√2a^3/6