Question

求与圆x^2+y^2-2x=0外切且与直线x+√3y=0相切于点M(3,-√3)的圆的方程。

不会做，麻烦帮忙解一下。

Answer 1

解：设所求圆圆心为D（a，b），半径为r.
∵x²＋y²－2x＝0
∴(x－1)²＋y²＝1
∴圆心C（1,0），R＝1
∵⊙D直线x+√3y=0相切于点M(3,-√3)，其斜率为﹣√3／3
∴切线OM⊥MD (O为直角坐标系原点)
∴(b＋√3)／(a－3)•(﹣√3／3)＝﹣1 （互相垂直的直线的斜率的积等于﹣1）
∴(b＋√3)／(a－3)＝√3
∴等式两边同时乘以√3，得 (√3b＋3)(a－3)＝3
∴等式两边同时加1，化简得 (a＋√3b)／(a－3)＝4
∴ a＋√3b＝4(a－3) •••••••••••••••••••• ①
∵ 点D(a，b)到直线OM的距离等于半径 r
∴ r ＝| a＋√3 b |／2 •••••••••••••••••••••• ②
∴ ①代入② 得 r＝| a＋√3b |／2 ＝| 4(a－3) |／2＝2| a－3 |
由题意得 a＞3 ∴r＝2(a－3) •••••••••••••③
∵⊙C与⊙D外切
∴CD＝R＋r
即 CD²＝(R＋r)²
把③代入上式，得 (a－1) ² ＋b²＝（1＋r）²＝(2a－5)²
∴(a－1) ² ＋b²＝(2a－5)² ••••••••••••④
∵ (b＋√3)／(a－3)＝√3
∴用a的代数式表示b，得b＝√3(a－4 ) ••••••••••••• ⑤
把⑤代入④，化简得 ，a＝4
∴b＝0 r＝2
故所求圆的方程（x－4)²＋y²＝4

Answer 2

前一位同学漏了一解哦！应该有两解得
与直线x+√3 y=0相切于点M（3，-√3）的圆的圆心O在过点M且垂直于直线x+√3 y=0的直线上
直线x+√3y=0的斜率为k1=-√3/3
所以，圆心O所在直线的斜率为k=-1/k1=√3
则，圆心O所在的直线方程为：y+√3=√3(x-3)，即：y=√3x-4√3
那么，设圆心O(a,√3a-4√3)
那么，OM=√[(a-3)^2+(√3a-4√3+√3)^2]=√[(a-3)^2+(√3a-3√3)^2]=√[(a-3)^2+3(a-3)^2]=√[4(a-3)^2]
所以，OM=|2(a-3)|
因为直线与圆O相切于M，则OM=r
又，圆O与已知圆x^2+y^2-2x=0，即：(x-1)^2+y^2=1相外切，则两圆的圆心距=两圆半径之和
即：|2(a-3)|+1=√[(a-1)^2+(√3a-4√3)^2]
解得：
a=0，或者a=4
①
当a=0时，圆心O(0,-4√3)，r=OM=2|a-3|=6
则，圆的方程为：x^2+(y+4√3)^2=36
②
当a=4时，圆心O(4,0)，r=OM=2|a-3|=2
则，圆的方程为：(x-4)^2+y^2=4

Answer 3

写出过M(3,-√3)的所有直线方程族
即y+√3=k(x-3)
代入圆方程，让△=0即可