Question

如图，三角形ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P,若∠PBC=40°，则∠CAP=___

如图，三角形abc的外角角ACD的平分线CP与内角角ABC平分线BP交于点P若

Answer 1

解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，

∴PF=PM，

∵∠BPC=40°，

∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，

∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，

∴∠CAF=100°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中，

PA=PA，PM=PF，

∴Rt△PFA≌Rt△PMA，

∴∠FAP=∠PAC=50°．

故答案为：50°

（详见图片）

Answer 2

∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+40°；(1)
PB平分∠ABC，得∠PBC=∠ABC/2;
PC平分∠ACD, 得∠PCD=∠ACD/2; 代入（1）得
∠ACD-∠ABC=80°；
在△ABC中，∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°; (∠ACD是外角);（2）
过P点作BC、AC、BA的垂线分别交于D、E、F；
由PB平分∠ABC，得PD=PF；
由PC平分∠ACD，得PE=PD；
推得PE=PF，所以PA平分∠CAE；（点到角两边的距离相等，则它与角顶点的连线是角平分线）
即∠CAP=∠CAE/2; (3)
又∠CAE是△ABC的外角，有∠CAE=180-∠BAC；代入（2）得
∠CAE=100°, 代入（3)得：
∠CAP=50°