Question

关于矩阵的秩的求解

我想问一下，1）在求一个矩阵秩的时候，要把矩阵化为行阶梯型，行阶梯型不就是最后一行全是零，其余的都是非零行么，那还计算干什么，直接用矩阵的行数减一不就得到矩阵的秩了么？干嘛还得那么复杂的变换？有点画蛇添足的感觉。2）还有就是一个矩阵A和它的增广矩阵B=（A,b)，为什么要把这A放到B里对B进行初等变换得到行阶梯型后确定A的秩？单独对A进行变换求A的秩怎么就不行？3）行阶梯型全是零的行的行数怎么确定？到底应该有几行？阶梯线上非零数的个数怎么确定？

Answer 1

你有这些问题说明你没有理解矩阵的秩，这些问题很幼稚，甚至很可笑
1）行阶梯型矩阵是初等行变换化出来的，不一定就是1行。非零行的行数是由矩阵本身决定，他等于矩阵的秩。有个定理，矩阵初等行（列）变化不改变矩阵的秩。
2）你单独求R（A)当然可以，但是很多时候我们想知道R(A,b),进而求解方程AX=b。那么对增广矩阵做初等变换就可以顺带解决后面的问题。我们知道，AX=b的解和R（A)、R(A,b)与n的关系密切，即所谓线性方程组的解的结构定理。这里不细说。可以参考任何一本线性代数教材
3）这个是化简的结果。非零行行数就是矩阵的秩。矩阵A的秩可以理解为方程组AX=b中有效方程的个数。

Answer 2