Question

给出函数f(x)=ax^2-2x+a-1/a(X∈R),其中常数a不等于0，已知函数最小值是-1

(1)求a值
(2)设数列{an}的前n项和Sn=F(n),证明{an}是等差数列
详细过程~~

Answer 1

1.
二次函数有最小值，二次项系数a>0
f(x)=ax²-2x+a -1/a=a(x -1/a)² +a -2/a
当x=1/a时，f(x)有最小值[f(x)]min=a -2/a
又已知最小值是-1，因此a -2/a=-1
整理，得
a²+a-2=0
(a+2)(a-1)=0
a=-2(<0，舍去)或a=1

a=1

2.
f(x)=x²-2x+1-1=x²-2x
n=1时，S1=a1=f(1)=1-2=-1
n≥2时，Sn=n²-2n
S(n-1)=(n-1)²-2(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²-2n-(n-1)²+2(n-1)=2n-3
n=1时，a1=2-3=-1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n-3
a(n+1)-an=2(n+1)-3-2n+3=2，为定值。
数列{an}是以-1为首项，2为公差的等差数列。

Answer 2

a≠0
所给函数为二次函数
函数有最小值
a>0

x=1/a时取到最小值
f(1/a)=a-2/a=-1
(a-1)(a+2)=0 (a>0)

a=1