Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD平行于BC，点E,F分别是AD,BC的中点，求证，EF＜1/2（AB+CD)

Answer 1

不失一般性地令AD＜BC。
过E作EG∥AB交BC于G、作EH∥DC交BC于H，延长EF至M，使EF＝FM。
∵AE∥BG、AB∥EG，∴AEGB是平行四边形，∴AE＝BG。
∵ED∥HC、EH∥DC，∴EDCH是平行四边形，∴ED＝HC。
∵AE＝ED、BF＝FC，∴BF－AE＝FC－BF，∴BF－BG＝FC－HC，∴GF＝FH。
∵EF＝FM、GF＝FH，∴EGMH是平行四边形，∴GM＝EH＝CD。
在△EGM中，显然有：EM＜EG＋GM，∴2EF＜AB＋CD，∴EF＜（1/2）（AB＋CD）。