Question

高中数学3

求函数f（x）＝lnx＋ax的单调区间
2设g（x）＝x^2－4x＋2若任意x1∈（0.＋∞）均存在x2∈〔0.1〕使f（x1）＜g（x2）求a的取值范围
快来帮帮忙

Answer 1

（1）求函数f（x）＝lnx＋ax是复合函数 ，所以可以分开来看，复合函数，在同一区间内两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数为增函数。在同一区间两个函数一增一减，则复合函数是减函数。

由复合函数f（x）＝lnx＋ax 知，定义域为x>0
在x>0区间内，y=lnx为单调递增的
那么就要讨论y=ax的情况，当a>0，y=ax在x>0上为单调递增函数
当a=0，y=ax在x>0上为常函数，不影响复合函数单调性，
复合函数单调性由另一个函数决定
当a<0，y=ax在x>0上为单调递减函数

综上复合函数f（x）＝lnx＋ax 在x>0区间上
当a>0，a=0时，为增函数
当a<0时，为减函数

Answer 2

f'(x)=1/x+a （x>0)
1/x+a>=0解得：x>=-1/a
1/x+a<0时解得：x<-1/a
所以f（x）＝lnx＋ax在(0,-1/a）上单减，在（-1/a,+∞）上单增。

Answer 3

解(主要是思路)：（1）由Inx得知X>0,令f'（x)>=o,即1/x+a>=0 ,ax>=-1(下面讨论)
1）当a>0得出ax>=-1恒成立 得出f（x）在（0，+∞)上单调递增；2）当a=0 (0.+∞)上单调递增；
3）当a<0 ,ax>=-1即x<=-1/a 易得出f(x)在（0,-1/a）上单调递增，在(-1/a,+∞)上单调递减。
(2)由g'（x）=2x-4,g(x)在（0，1）递减，得出g（x）属于（-1，2）即g(x)min=-1， g（x）max=2
因为任意x1∈（0.＋∞）均存在x2∈〔0.1〕使f（x1）＜g（x2），所以f（x）max<=2
1) 当a>=0, 易知对任意x1∈（0.＋∞）都有f（x1）＜g（x2）的a不存在。
2)当a<0 ,由（1）可知f(x)max=f(-1/a)=In(-1/a)+(-1/a*a)=In(-1/a)-1<=2即要In(-1/a)<=3
得出a<=-1/e^3<0
既有a属于（-∞，-1/e^3）