Question

l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四

l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD面积是25.E是AD与l2的交点，F是BC与l3的交点，连接EF，说明△ABE,△EBF,△DEF,△CDF的面积相等。

Answer 1

（1）证明：连接EF，
∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l1、l2、l3和l4之间的距离为h，
∴S△ABE=
1
2
BE•h，S△FBE=
1
2
BE•h，
S△EDF=
1
2
FD•h，S△CDF=
1
2
FD•h，
∴S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF．（4分）

（2）解：过A点作AH⊥BE于H点，过E点作EM⊥FD于M点，
方法一：∵S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF，
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S△ABE=
25
4
，且AB=AD=5，（7分）
又∵l1∥l2∥l3∥l4，每相邻的两条平行直线间的距离为h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l2，EM⊥l3，l2∥l3，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分别是AD与BC的中点，
∴AE=
1
2
AD=
5
2
，
∴在Rt△ABE中，
BE=
AB2+AE2
=
5
5

2
，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴AH=
AB•AE
BE
=
5×
5
2

5
5

2

=
5
．（12分）
方法二：不妨设BE=FD=x（x＞0），
则S△ABE=S△FBE=S△EDF=S△CDF=
xh
2
，（6分）
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S△ABE=
1
2
xh=
25
4
，且AB=5，
则xh=
25
2
①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=
BE2-AB2
=
x2-52
，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴
AH
AB
=
AE
BE
，即
h
5
=

x2-52

x
，
变形得：（hx）2=25（x2-52）②（10分），
把①两边平方后代入②得：
252
4
=25（x2-52）③，
解方程③得x=
5
5

2
（x=-
5
5

2
舍去），
把x=
5
5

2
代入①得：h=
5 ．

Answer 2

∵ 四条相互平行的直线距离相等，ABCD又是正方形
∴AE=ED=BF=FC, AB=EF=CD BE=FD
∴△ABE≡△EBF≡△DEF≡△CDF (边,边,边)