Question

初三数学题：如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴。

初三数学题：如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，点D在边OC上，CD=3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E。二次函数y=-x^2+6x-5的图像经过点B和点E，如果点M在它的对称轴上且位于x轴的上方，满足S△CEM=2S△ABM，求点M的坐标。

Answer 1

解：

∵BC⊥OC，AO⊥OC且DB⊥DE

∴△BCD∽△DOE

OE/OD=CD/CB

∴OE=1

即E（1，0）

 

y=-x²+6x-5对称轴为x=3

作BH⊥x轴于H，故M在BH上

 

设M（3，y）

则S△CEM=S梯形OHMC-S△COE-S△EMH

=½(4+y)•3 - ½•4•1 - ½•2•y

=4+½y

 

S△ABM=½BM•AH=½(4-y)•2

=4-y

 

∵S△CEM=2S△ABM

即4+½y=2(4-y)

解得y=8/5

 

∴M(3,8/5)

 

 

追问

不好意思，似乎是两解，M（3,8）的应该怎么求？

追答

抱歉考虑不全面。还有一种情况，M在B之上时。

如图，当M在B之上时，设M（3，x）

 

则S△CEM=S梯形OHMC-S△OCE-S△EHM

=½(4+x)•3 - ½•1•4 - ½•2•x

=4+x/2

 

S△ABM=½•BM•AH=½•(x-4)•2

=x-4

 

S△CEM=2S△ABM

即4+x/2=2(x-4)

解得x=8

∴M(3,8)

 

综上M(3,8/5)或M(3,8)

 

Answer 2

解答：解：（1）∵BCǁOA，
∴BC⊥CD，
∵CD=CB=3，
∴∠CDB=45°，
∵BD⊥DE，
∴∠ODE=45°，
∴OE=OD=1，
∴E（1，0）；
（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0），
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点B和点E．

∴
-9+3b+c=4
-1+b+c=0
，
解之得
b=6
c=-5
，
∴二次函数的解析式为y=-x2+6x-5，
∴对称轴为直线x=3；
②设对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t），
S△CEM=S梯形OFMC-S△MEF-S△COE=
1
2
（4+t）×3-
1
2
×2×t-
1
2
×1×4=
1
2
t+4，
（ⅰ）当点M位于线段BF上时，S△ABM=
1
2
（4-t）×2=4-t，
∵S△CEM=2S△ABM，
∴
1
2
t+4=2（4-t），
解得：t=
8
5
，
∴M（3，
85
）；
（ⅱ）当点M位于线段FB延长线上时，S△ABM=
1
2
（t-4）×2=t-4，
∵S△CEM=2S△ABM，
∴
12
t+4=2（t-4），
解得：t=8，
∴M（3，8）．

Answer 3

利用线段长得到各点坐标：A(5，0) B(3，4) C(0，4) D(0，1)
求E点坐标：在二次函数中令y=0，得到E(1，0) (还有一个是（5,0）是A点坐标)
二次函数化为顶点式：y=-(x-3)^2+4
M在二次函数对称轴上，设M(3,YM)，对称轴与x轴交于N

M在B下方时：
用YM表示S△CEM：S△CEM=S梯形ONMC-S△OEC-S△ENM=1/2*(YM+4)*3-1/2*1*4-1/2*(3-1)*YM=4+1/2YM
用YM表示S△ABM：S△ABM=1/2*(4-YM)*(5-3)=4-YM
利用S△CEM=2S△ABM列等量关系：4+1/2YM=2*(4-YM)
解得YM=8/5，M（3,8/5）

M在B上方时：
用YM表示S△CEM：S△CEM=S梯形ONMC-S△OEC-S△ENM=1/2*(YM+4)*3-1/2*1*4-1/2*(3-1)*YM=4+1/2YM
用YM表示S△ABM：S△ABM=1/2*(YM-4)*(5-3)=YM-4
利用S△CEM=2S△ABM列等量关系：4+1/2YM=2*(YM-4)
解得YM=8，M(3,8)

Answer 4

你可以根据题意假设出M点，然后根据数字关系，求出二次函数，接着可以求出对称轴的方程，再用全等三角形接坐标即可。

Answer 5

先求出二次函数的对称轴函数，然后设点M。……