Question

高中数列解答题第二问,

已知等差数列an的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项，第十四项分别是一个等比数列的第二项，第三项，第四项

设bn=1/n（an+3） n属于正自然数， Sn是数列bn的前n项和，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn＞t/36总成立？若存在，求出t，若不存在，请说明理由

Answer 1

由已知有a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d,因为a2,a5,a14分别是等比数列的第2.3.4项，所以有a5^2=a2*a14,带入a1=1,解得d=0（舍），d=2.

所以an=2n-1.

所以bn=1/n(2n+2)=(1/2)*(1/n-1/(n+1)),

所以sn=1/2-1/2(n+1),所以要使Sn>t/36恒成立，必须有Sn的最小值大于t/36。

设函数f(x)=0.5-1/2(x+1)，则f'(x)=1/2(x+1)^2>0在其定义域上恒成立，故f(x)为单调递增函数，故Sn在其定义域上单调递增，(必须要检验函数的增减性~)

Sn的最小值在n=1时取得，所以有1/4>t/36，解出t<9，因为t是整数，所以t=8

Answer 2

a2*a14=(a5)²
(1+d)(1+13d)=(1+4d)²
1+14d+13d²=1+8d+16d²
d=2
an=a1+(n-1)d=2n-1
bn=1/[n(2n-1+3)]=1/[n(2n+2)]>0
所以对任意正整数n，均有S(n+1)>Sn
所以n=1时Sn最小，其值为
S1=b1=1/[1*(2+2)]=1/4
则有S1>t/36
t<36S1=9
所以t=8

Answer 3

等比公式我忘了，都四五年没搞数学了，你把等比等差公式给我，我一定可以帮你搞出来，万变不离其宗的题

追问

等差数列公式an=a1+(n-1)d　　a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差
　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2
　　Sn=n(a1+an)/2
　　公差d=(an-a1)/（n-1）

（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

追答

真的不好意思，现在才看到，不过结果己经帮你弄出来了，是t=8