Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax,若x=0时，f(x)取极大值，求实数a的值。

过程。

Answer 1

你是高中生还是大学生呢？因为二者所使用的方法不一样，你现在的学习阶段可以使用“导数”吗？
如果你是高中生，建议用图解法，过程如下：
当x=0时，f(x)=0
第一步，你绘制ln(x+1)的图像，这个你会的吧？图像过原点，形状和lnx一样，相当于后者与x轴交点(1,0)平移到原点。
第二步，y=ax的图像表示一些直线，其中a就是直线的斜率，只不过a待定。
第三步，对数函数y=ln(x+1)和直线y=x在原点(0,0)相切。常识：始终有x>=ln(x+1)，唯一取等号处x=0.这个道理，只要画图就能看出来。此时a=1。
第四步，可见，若a>=0,则f(x)=0不可能是极大值，因为随着x>0,f(x)>0;
若-1<a<0时，在x>0这一段，有可能f(x)=ln(x+1)+ax>0（因为与y=ax关于y轴互为对称的直线y=-ax与ln(x+1)相交，画图可见），这样x=0就不是极大值点。
若a<-1时，在-1<x<0这一段，有可能f(x)=ln(x+1)+ax>0（因为这一段直线y=-ax与ln(x+1)相交，画图可见），这样x=0就不是极大值点。
若a=-1,无论是在-1<x<0或是x>0，都必有f(x)=ln(x+1)+ax<0,所以x=0时f(x)=0就是极大值。
综上所述，实数a=-1。
如果你是大学生，则用“导数”求解（小讲1的求解是对的，但不完善）：
由f'(x)=1/(1+x)+a =0得到x=-1/a-1；而f'‘(x)=-1/(1+x)^2<0恒成立。所以无论a取任何实数，x=-1/a-1都是极大值点。但要在x=0处取得极大，则由x=-1/a-1=0推出a=-1。

Answer 2

-1 f'(x)=1/(1+x)+a f若x=0时 (x)取极大值 f'(0)= 0,a=-1