Question

关于高斯公式、格林公式、斯托克斯公式三者的关系

我知道格林是平面对平面曲线；高斯是三重对曲面；斯托克斯是曲面对曲线；
而且斯托克斯可以退化为格林公式；（dz=0）
但是《复习全书》里面说高斯也可以退化为格林公式， 这是怎么一回事呢？
忘数学高手解答，感激不尽。

Answer 1

首先要知道三个公式的区别了
格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做，但是要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线的，但是要计算辅助曲线的曲线积分，因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的，这个很重要，因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……
斯托克斯公式就是格林公式在空间内的推广，既然格林公式研究的是平面内的第二类曲线积分，那么斯托克斯公式研究的就是空间内的第二类曲线积分，要知道边界曲线正方向和曲面正方向成右手定则关系的……区分什么是空间线单连通，什么是空间面单连通，这个考试不考，但是很重要，空心球的模型和圆环模型要注意区别了，把这两个弄懂了就好了
高斯公式就是把第二类曲面积分转化成三重积分来做了，但是要注意正方向的选取，是取边界曲面外法线方向，从物理上说，就是流量从内向外……
这3个公式在运用之前，有时要代换的，就是把曲线方程或者是曲面方程带入被积函数，达到化简计算的目的，但这只是对于一种曲面的情况，因为被积函数上的每一个点都在曲面、曲线方程上，可带入，对于多个曲面、曲线构成的分片或者分段的边界，不可以带入，因为不是每一个被积函数的点都满足曲面、曲线方程，这时曲面、曲线方程有很多的，有的点满足这个，有的点满足那个，不一定，所以不能带入……另外通过公式化成二重积分和三重积分后也不能带入，因为此时不是曲线积分或者曲面积分的题目了，转变为普通的二三重积分了，带入肯定出错的……
希望写的对你要帮助……

追问

感觉没有解决我的疑问啊

Answer 2

格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换，而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；
而斯托克公式是格林公式的推广，把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来。注意斯托克公式中，若边界L在xoy面上，则有dz=0.即得到了格林公式。

因为最近在准备考试，时间有点紧张，所以说的不是很详细，不知能不能明白。如果不行的话， 等明天或后天我会列出公式给你详细的补充。

追问

万分感谢，那个斯托克斯到格林的我自己想懂了
但是高斯到格林还是没推导出来

Answer 3

自己找书去看塞

追问

我没找到塞

追答

仔细再找找撒，，，，