Question

求函数y=(1/4)^x-2(1/2)^x+3的单调区间和值域

Answer 1

令t=(1/2)^x (t>0)
则y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2
所以y∈(2,+∞)
单调区间：由复合函数单调性可得
内层单减，所以外层减区间为函数增区间
故增区间为：x∈(0,+∞) 减区间为(-∞,0)

追问

y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2
的对称轴不是1吗，且开口向上，同减时增区间为什么不是(-∞,1)，减区间为 (1,+∞) ？

追答

因为那个区间是新构造函数f(t)的自变量t的定义域，即为f(x)=(1/2)^x的值域，故需将f(x)的值域转化为内层x的定义域， 复合函数的单调性由内外函数的单调性决定，f(x)=(1/2)^x在x∈(-∞，+∞)单调递减，y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2增区间为t∈(-∞,1)，减区间为t∈ (1,+∞) ，所以减×减为增，减×增为减，故增区间为：x∈(0,+∞) 减区间为(-∞,0)