Question

周期函数常见结论有些…类似f(x+a)=-f(x),T=2a

Answer 1

1.f(x+a)=f(x+b) (a≠b)周期证明：令x=x-bf(x-b+a)=f(x-b+b)==>f(x)=f(x+a-b)∴f(x)为以|a-b|为周期的周期函数；
2.f(x+a)= -f(x) (a≠0)的周期证明：令x=x+af(x+a+a)=-f(x+a)==> f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)∴f(x)为以2a为周期的周期函数
3.f(x+a)= ±1/f(x) (a≠0，f（x）≠0）的周期
证明：令x=x+a
f(x+a+a)= ±1/f(x+a)=f(x)==>f(x)=f(x+2a)
∴f(x)为以2a为周期的周期函数

4.若函数y=f(x)图像同时满足f(x)+f(2a-x)=0, f(x)+f(2b-x)=0（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
5.若函数y=f(x)图像同时满足f(x)-f(2a-x)=0, f(x)-f(2b-x)=0（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
6.若函数y=f(x)图像同时满足f(x)+f(2a-x)=0, f(x)-f(2b-x)=0（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

Answer 2

解：f(x+a)=f(x+b）的周期为|a-b|
f(x+a)=-f(x+b）的周期为2|a-b|
f(x)+f(x+a)=常数 周期为2a
f(x)*f(x+a)=常数 周期为2a
当然还有很多，但形式差不多，稍微变化一下而已，
不过有一条，最终还是归结于周期的定义即可！

Answer 3

f(x)=f(x+a)周期a
f(x)=-f(x+a)周期2a
f(x)=1/f(x+a)周期2a
f(x)=-1/f(x+a)周期2a
两个对称一个周期，如果已知其中任何两个条件，必定能求出另外一个