Question

设函数fx=2cos^2x+2根号3sinxcosx-1(x属于R),若x属于[0,π/2],求函数fx的值域

Answer 1

fx=2cos^2x+2根号3sinxcosx-1=2cos^2x-1+2根号3sinxcosx

根据倍角公式，

sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos^2（α）-1

fx=cos2x+根号3sin2x

再根据
辅助角公式　　Asinα+Bcosα=√(A²;+B²;)sin[α+arctan(B/A)]

fx=根号（1²+根号3²）sin[2x+arctan(根号3/1)]

=2sin[2x+π/6]
x属于[0,π/2]，所以2x属于[0,π]
所以2x+π/6属于[π/6,7π/6]

所以sin[2x+π/6]属于[-1/2,1]
所以fx的值域为[-1,2]

Answer 2

化简就可以了
f(x)=1+cos2x+根号3sin2x -1
=2sin(2x+π/6)
x∈[0,π/2]
2x+π/6∈[π/6,7π/6]
故f(x)∈[-1,2]

Answer 3

分析，
f(x)=2cos²x+2√3sinx*cosx-1
=cos(2x)+√3sin(2x)
=2sin(2x+π/6)
x∈[0,π/2]，
∴π/6≤2x+π/6≤7π/6
-1/2≤sin(2x+π/6)≤1
-1≤2sin(2x+π/6)≤2
∴f(x)的值域为：[-1,2]。

Answer 4

把函数化简 F（X）=2 Sin（2X+π／6）
函数在区间[0，π/2]上
所以π/6≤2x+π/6≤7π/6
当2x+π/6=π/2，即x=π/6时
函数最大值=2
当2x+π/6=7π/6，即x=π/2时
函数最小值=-1
所以值域为（-1 、2）

Answer 5

根据二倍角公式和正弦定理可得
f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx-1
=cos2x+√3sin2x
=2×[(√3/2)×sin2x+(1/2)×cos2x]
=2×(sin2xcos30°+sin30°cos2x)
=2sin(x+30°)=2sin(x+π/6)
当x∈[0,π/2]时x+π/6∈[π/6,2π/3],此时sin(x+π/6)∈[1/2,1]
∴2sin(x+π/6)∈[1,2]
∴f(x)的值域为[1,2]
当x=0时f(x)取得最小值1
当x=π/3时f(x)取得最小值2