Question

高中椭圆的二次方程联立问题

x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A b两点，O为坐标原点 若AP=OA（距离），证明直线OP的斜率K满足K的绝对值小于根号3 解答如下：把P的轨迹看成是以A为圆心，AO长为半径的圆，把该圆的方程和椭圆方程联立得到一个二次方程，又因为该圆与椭圆的交点是对称的，所以令判别式等于零，解得P的坐标，带入发现不成立。 据说是因为两次方程的联立有四个解，第一我不明白另外的两个解在哪里，能不能再几何图形里找到；第二，如果我用判别式为零得出的的坐标，在哪里，为什么不是本题要求的P的坐标？ 望高手解答，谢谢！！
如果联力不行的话，那么下面的解答是否也是错误的？

椭圆(x/2)^2+y^2=1长轴端点为(-2,0)和(2,0)，和内部的圆(x-3/2)^2+y^2=1/4相切于点(2,0)。
后面的圆以(3/2,0)为圆心，1/2为半径，经过点(2,0)。所以只需证明只有一个交点，或者说联立方程组只有一个解。联立并消去y^2，得(x-3/2)^2-(x/2)^2=-3/4，化简得3x^2-12x+12=0，只有一个解x=2。

Answer 1

联立是正确的，但不能令判别式等于零. 判别式等于零的含义是二者相切。
A(-a, 0), AO = a
以A为圆心，AO长为半径的圆的方程: (x+a)² + y² = a² , y² = a² - (x+a)² = -2ax -x²
带入椭圆方程: x²/a² + (-2ax-x²)/b² = 1
b²x² - 2a³x -a²x² = a²b²

(a² - b²)x² + 2a³x + a²b² = 0

判别式=4a⁶ -4(a²-b²)a²b² = 4a²(a⁴ - a²b² + b⁴)
x = [-2a³ ± 2a√(a⁴ - a²b² + b⁴)]/[2(a² - b²)] = [-a³ ± a√(a⁴ - a²b² + b⁴)]/(a² - b²)
可以证明，x= [-a³ - a√(a⁴ - a²b² + b⁴)]/(a² - b²) < -a 应当舍去。
然后求P的纵坐标，有两解，关于x轴对称。

Answer 2

朋友，你不一定要联立啊，这个题根本不需要联立。 根据椭圆右边==1 把b2 换成 a2 然后就小于右边就小于1 设OP 【x，kx2】 带入椭圆 换出来 联立 圆就完成了 自己试试