Question

设函数f（x）是定义在（0，+ ∞）上的函数，并且满足下面三个条件：

1，对任意的正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
2，当x>1时，f（x）<0
3，f(3)=-1
求f（1）和f（1/9）的值
如果不等式f（x）+f(2-x)<2成立，求x的取值范围
如果存在正数k，使不等式f（kx）+f(2-x)<2有解，求正数k的取值范围

Answer 1

在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1,可得f(1)=0.

从f（xy）=f（x）+f（y）中令y=x^{n-1}可得
f(x^n)=f(x^{n-1})+f(x)=f(x^{n-2})+2f(x)=f(x^{n-3})+3f(x)=...=nf(x),即
f(x^n)=nf(x);
在上式中令y=x^n,可得f(y^{1/n})=(1/n)f(x).
在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=1/x,可得f(1/x)=-f(x).
从而，f(1/9)=-f(9)=-f(3^2)=-2f(3)=2.

设0<x1<x2,则由于x2/x1>1,根据条件可得f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0,即f(x)为严格单调减函数。
如果不等式f（x）+f(2-x)<2成立,则可知0<x<2且有f(x(2-x))<2=f(1/9).从而x(2-x)>1/9,由此推出
1-10^{1/2}/3<x<1+10^{1/2}/3, 从而有0<x<2.

同理可知，当k>0时，f（kx）+f(2-x)<2都有解。

Answer 2

授人以鱼不如授人以渔，教给你个方法：取巧法
f（xy）=f（x）+f（y） 看到它你该想到f的形式必定为类似alnx的形式
当x>1时，f（x）<0 那么这函数应该是-alnx的形式
f(3)=-1 那么这函数就可能是-lnx/ln3
把-lnx/ln3 代入 1、2、3 条件检查均满足，所以这个函数至少有-lnx/ln3这一种形式
所以：f（1）=0 f（1/9）=2
f（x）+f(2-x)<2 以下结果自己去求，简单！
再交给一个法子：赋值法
f（xy）=f（x）+f（y） 所以f（1）=f（1）+f（1） f（1）=0
f（1/9）=2f（1/3）=2（f（3）+f（1/9））=2f（3）+2f（1/9）=2+2f（1/9） 所以
f（1/9）=2
f（x）+f(2-x)<2 等同于f（x（2-x））<f（1/9）
x-1>0
f(x)-f(1)=f(x)<0
以上两式是典型增减性验证，说明函数在x>1的时候为减函数
同样做法证明x<1时也为减函数
提示：x(2-x)<1
以下就自己做吧，简单！