Question

如图,点D、P在∠ABC的平分线上,PA⊥AB,PC⊥CB,则AD=CD,∠ADB=∠CDB,为什么?

Answer 1

∵PA⊥AB,PC⊥CB（已知）
∴∠PAB＝∠PCB＝90（垂直的定义）
∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠ABP＝∠CBP（角平分线的性质）
∵BP＝BP（已知）
∴△ABP≌△CBP （AAS）
∴AB＝CB（全等三角形的对应线段相等）
∵PD＝PD（已知）
∴△ABD≌△CBD （SAS）
∴AD=CD（全等三角形的对应线段相等）
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）

Answer 2

角平分线上的任意点到两边的距离相等，AP=PC
据此可以证明三角形ABP全等于三角形CBP
由此可知AB=BC，然后再证明三角形ABD全等于CBD，则可证明结论成立。

Answer 3

证明：
∵PA⊥AB,PC⊥CB
∴∠PAB＝∠PCB＝90
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠CBP
∵BP＝BP
∴△ABP≌△CBP （AAS）
∴AB＝CB
∵PD＝PD
∴△ABD≌△CBD （SAS）
∴AD=CD,∠ADB=∠CDB