Question

线性代数习题求解~~~~

4元方程组Ax=b，r(A)=3，α1、α2、α3是Ax=b的解。
试求通解：α1=(1,1,1,1)T，α2+α3=(2,3,4,5)T
T是转置

Answer 1

因为a2+a3-2a1=(0,1,2,3)T是AX=0的一个特解
又4-r(3)=1则AX=b基础解系只含有一个解向量
所以AX=b的通解为(1,1,1,1)T+c（0,1,2,3）T

追问

为何a2+a3-2a1=(0,1,2,3)T是AX=0的一个特解？

追答

因为A(a2+a3-2a1)=Aa2+Aa3-2Aa1=b+b-2b=0

追问

明白了，谢谢！

Answer 2

r(A)＝3，所以Ax=0的解为1维空间
Ax=b是一个特解加上Ax=0的解
而
Aa1 +Aa1 - A(a2+a3) =0
所以2a1 -(a2+a3) = (0,-1,-2,-3)T为Ax=0通解
所以Ax=b解为 (1,1,1,1)T + k (0,-1,-2,-3)T
k为任意实数

追问

Ax=0
如何推出Aa1 +Aa1 - A(a2+a3) =0？

追答

Aa1 = b, Aa2=b, Aa3=b,

Aa1 +Aa1 - A(a2+a3) ＝ b+b- (b+b) =0