Question

请教高中数学题，谢谢各位！

集合A=｛n!+n︱n∈N*｝,集合B是集合A对N*的补集
（1）证明：不存在无限项的等差数列，使得各项都在集合B中；
（2）是否存在满足条件的等比数列？说明理由。

Answer 1

（1）其实是存在的，例如1，1,1,1,1……这个常数数列。在不考虑常数数列的情况下：
证明：假设存在一无限等差数列各项都在集合B中，通项公式为Cm=a+(m-1)d，则易知a和d都是大于等于1的整数。在集合A中，令n=d+a,则An=（d+a）！+d+a=a+{1+[(d+a)！]/d}d,因为a和d都是大于等于1的整数，所以(d+a)！＞d,所以[(d+a)！]/d是一个正整数，所以1+[(d+a)！]/d是一个正整数，即当m-1取1+[(d+a)！]/d时，有Cm=An,所以Cm这一项不在集合B中，与假设矛盾。所以不存在无限项的等差数列，使得各项都在集合B中（常数列除外）。
（2）没看懂题目。等比数列要满足什么条件？

Answer 2

（1）设有B中的无限等差数列Xn=a+(n-1)d, 则数列Xn中所有元素为所有大于a，且被d除与a同余的数。随便取一个足够大的整数k，使a+kd>0，则有集合A中的元素(a+kd)!+(a+kd)使得(a+kd)!+(a+kd)被d除与a同余，而且大于a，所以可以断定那个数也是数列Xn中的元素。

(2)存在，这个不用证明。因为1,1,1,1,1,1......就是等比数列，而且每项都在B中，但是显然所有等比数列中的元素都不在A中，因为A最小的元素是2

这个是我想的方法，写出来不算很严谨，反正意思就这样。高中的话，这种题目超纲了。