Question

已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0）.g（x）=x3＋bx。 1，若两曲线在交点（1，c）处具有公

求a.b 2.当a=3.b=-9.若函数f（x）+g（x）在区间[k.2]上的最大值为28，求k的取值范围。

Answer 1

1、f（x）＝ax2＋1（a＞0）.g（x）=x3＋bx

对f（x）.g（x）分别求导，则有
f‘’（x）＝2ax（a＞0）.g‘（x）=3x2＋b

因为两曲线在交点（1，c）处具有公共的切线，亦即有相同的斜率

所以2a=3＋b=c
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，所以a+1=1+b，即a=b，代入上式可得：a=3，b=3．

2、当a=3.b=-9.，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x＋1
则h′（x）=3x2+6x-9，令h'（x）=0，解得：x1=-3，x2=1；
所以在 k≤-3时，函数h（x）在（-∞，-3）上单调增，在（-3，2]上单调减，
所以在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28
-3＜k＜2时，函数h（x）在在区间[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是（-∞，-3]

Answer 2

解：（1）依题设，得 a+1=b+1=c 即 a=b=c-1
又 两曲线在交点（1，c）处具有公(切线否？)，得 (2a+1=b+3，a=b=3)
（2）由已知，得 f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1 其导数3x^2+6x-9=0，得 x=1或-3
f(x)+g(x)在[-3,1]为减函数 x＞1，x≤-3 为增函数 f(-3)+g(-3)=28 f(1)+g(1)=-4
又 f(x)+g(x)在[k，2]上的最大值为28， f(2)+g(2)=3 ∴k≤-3
（-3＜k＜2时， f(x)+g(x)的最大值小于28）