Question

判别∑(1-cos 1/n)的敛散性

Answer 1

因为1-cos 1/n=2sin^2 (1/2n)>0,故知原级数为正项级数.
由于n-->正无穷大时,
lim2sin^2 (1/2n)/(1/2n)^2
=2lim[sin(1/2n)/(1/2n)]^2
=2*1^2
=2为常数
利用比值审敛法,得∑(1-cos 1/n)与∑(1/2n)^2的敛散性相同.
而∑(1/2n)^2=1/4∑1/n^2,
∑1/n^2是p=2>1的p级数是收敛的!
所以∑(1-cos 1/n)是收敛的!

Answer 2

因为
lim(n->∞) (1-cos1/n)/(1/2n²)=1
而
Σ1/2n²收敛
所以
由比较审敛法的极限形式，可知
原级数收敛。