Question

关于旋转的几何题

如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点
（1）求证：MN=1/2CE
（2）如图，将△ADE绕点A逆时针旋转一个锐角（1）中结论是否仍成立，并证明
（3）求证：MN⊥CE

Answer 1

（1）如左图，连接CD，取CD中点G，连接MG,NG

∵△ABC, △ADE均为等腰直角三角形，点D在AB上

∴有ED∥AC，AE∥BC，ED⊥BC，AE⊥AC

又M,N,G分别为BD,CE,CD中点，

∴有MG∥BC，且MG=1/2BC=1/2AC；NG∥DE，且NG=1/2DE=1/2AE

又由ED⊥BC可知，NG⊥MG

由SAS关系可知，△GMN∽△ACE，

∴MN/CE=MG/BC=1/2，即MN=1/2CE

（2）如右图，当△ADE旋转后，取AC中点H，连接NH

由于M,G,N,H均为中点，易知有如下平行关系：

MG∥BC, NG∥DE, NH∥AE；且MG=1/2BC=1/2AC, NG=1/2DE=1/2AE

且有如下角度关系：

∠MGD=∠BCG                                                 (1)

∠NGD=∠GNC+∠GCN=∠DEC+∠GCN           (2)

∠NHA=∠HNC+∠HCN=∠AEC+∠HCN             (3)

∠DEC+∠AEC=∠AED=90°                              (4)

∠BCG+∠GCN+∠HCN=∠ACB=90°                 (5)

180°=∠NHA+∠NHC=∠NHA+∠EAC                (6)

上述六式相加，消去两边相同项，可得

∠MGD+∠NGD=∠MGN=∠EAC

同样由SAS关系可得，△GMN∽△ACE

∴MN/CE=MG/AC=1/2，即MN=1/2CE

即△ADE绕A点旋转后，第一题的结论仍然成立

（3）由第二题的平行及相似关系可得：∠NMG=∠ACE, ∠GMC=∠BCM

∴∠NMC=∠NMG+∠GMC=∠ACE+∠BCM

∴∠MNE=∠NMC+∠MCN=∠ACE+∠MCN+∠BCM=∠ACB=90°

∴MN⊥NE，即MN⊥CE，得证 

Answer 2

1、3可以一起证明。。 连接CM & EM后，可以用代数法得到CME为等腰直角△。

追问

第二问怎么做。。第三问问的是第二问的图- -。

追答

第二问还在想，不过我觉得吧， 旋转的角度是钝角的时候也应该成立。。一起再想想

网上找的思路，我觉得有道理，连接DN，利用倍长中线。。你先看一下：

Answer 3

qq号

追问

你到底答不答问题！！