Question

已知数列{an}，首项a1=3，且2an+1=Sn•Sn-1(n>=2)

①求证:{1/Sn}是等差数列，并求公差;②求{an}的通项公式;③数列{an}中是否存在自然数Ko，使得当自然数K>=Ko时使不等式ak>ak+1对任意大于等于k的自然数都成立，若存在求出最小的k值，否则请说明理由.
不好意思，我同学瞎子，没看清楚，是2an！！只要第三问就可以了，前两问不用了，谢了！！！！！！

Answer 1

（1）由已知中2a n=S n•S n-1，我们易可2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1，两这同除Sn•Sn-1后，即可得到

1    

Sn    

-

1    

Sn-1    

= -

1    

2    

（n≥2），即数列{

1    

Sn    

}是以

1    

3    

为公差等差数列，再由首项a 1=3，代入求出数列{

1    

Sn    

}的首项，即可得到数列{

1    

Sn    

}的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合2a n=S n•S n-1，我们可以得到n≥2时，{a n }的通项公式，结合首项a 1=3，我们可以得到{a n }的通项公式；
（3）令ak＞ak+1解不等式我们可以求出满足条件的取值范围，再根据k∈N，即可得到满足条件的k值．

解答：解：（1）．由已知当n≥2时2an=Sn•Sn-1得：2（Sn-Sn-1）=Sn•Sn-1（n≥2）⇒

1    

Sn    

-

1    

Sn-1    

= -

1    

2    

（n≥2）⇒{

1    

Sn    

}是以

1    

S1    

=

1    

a1    

=

1    

3    

为首项，公差d=-

1    

2    

的等差数列．
（2）．∵

1    

Sn    

=

1    

S1    

+(n-1)d=

1    

3    

+(n-1)(-

1    

2    

)=

5-3n    

6    

，Sn=

6    

5-3n    

(n≥ 2)
从而an=

1    

2    

Sn•Sn-1=

18    

(3n-5)(3n-8)    

，
∴an=

3  (n=1)

18

(3n-5)(3n-8)

   

(n≥2)
（3）.

令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得

2

3

＜k＜

5

3

或k＞

8

3

．故只需取k=3，则对

大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.

   

Answer 2

令ak-ak+1＞0，即(3k-2)(3k-5)(3k-8)＞0，可得2/3＜k＜5/3或k＞8/3．故只需取k=3，则对大于或等于3的一切自然数总有ak＞ak+1成立，这样的自然数存在最小值3.

Answer 3

2题目有问题吗？??是不是把an化为Sn-Sn-1??

Answer 4

2an+1=Sn•Sn-1(n>=2)？
2an=Sn•Sn-1(n>=2)？