Question

not do sth 和 not to do sth？ 我总是弄不清楚这两个，求解答!

Answer 1

这两个结构不用刻意去记，因为在考试的时候都是结合句子意思来考得。
比如：He does _____(like) reading. (变否定句)
在这个句子里，划线部分是谓语动词，而且要求变否定句，所以要写成not like。
not to do 一般是一些动词的固定语法搭配，需要变成否定结构时才用到。比如 try to do, forget to do, want to do, ask to do等等，这些动词结构的否定形式就是 try not to do, forget not to do, want not to do, ask not to do.
结合句子来记忆就很容易分清楚了。

Answer 2

not to do sth 是 不定式的否定形式。
not do sth 是否定句形式。

He ask me to move the case. 他叫我挪一下那箱子。

He ask me not to move the case. 他叫我不要挪动那箱子。

He don't ask me to move the case.他没有叫我挪一下那箱子。
He don't ask me not to move the case.他没有叫我不要挪动那箱子。

Answer 3

我觉得这个取决于not前的动词，有些动词直接加do就好，比如let do，make do，help do，i will help her not do the stupid things，有些需要加to do，比如ask to do，tell to do，forget to do，I was told not to touch the electrical outlet since i was a child。
不过我觉得还有另外一种语感解释，not do 表示的语气是一般现在时，not to do表示不能去做什么，有将来时的意味，这在于说话人需要强调什么语境。