Question

如图所示，已知BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥C，求证PM=PN。

Answer 1

证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共边），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．

Answer 2

证明：
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD
∵AB＝BC，BD＝BD
∴△ABD≌△CBD （SAS）
∴∠ADB＝∠CDB
∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴∠PMD＝∠PND
∵PD＝PD
∴△PMD≌△PND （AAS）
∴PM＝PN

Answer 3

先证三角形ABD全等于三角形CBD，可得∠ADB=∠CDB
然后有两个垂直条件可得两个直角，还有公共边DP
三个条件可得三角形PDN全等于三角形PDM
最后得到PM=PN