Question

求y=(2x^2+2x+1)/(x^2+x+1) 的值域

Answer 1

∵y＝（2x^2＋2x＋1）/（x^2＋x＋1）＝2－1/（x^2＋x＋1）＝2－1/［（x＋1/2）^2＋3/4］。

显然有：（x＋1/2）^2＋3/4≧3/4，∴1/［（x＋1/2）^2＋3/4］≦4/3，
∴－1/［（x＋1/2）^2＋3/4］≧－4/3，∴y＝2－1/［（x＋1/2）^2＋3/4］≧2－4/3＝2/3。

考虑到：1/［（x＋1/2）^2＋3/4］＞0，∴y＝2－1/［（x＋1/2）^2＋3/4］＜2。

∴2/3≦y＜2。
∴函数的值域是［2/3，2）。

Answer 2

y=(2x^2+2x+1)/(x^2+x+1)=(2(x^2+x+1)-1)/(x^2+x+1)=2-1/(x^2+x+1)
因为x^2+x+1≥3/4
所以0＜1/（x^2+x+1）≤4/3
所以2＞原式≥2/3