Question

高数：数列求极限（求高手点拨）

已知Xn=(-1)^n/(n+1)^2,证明数列的极限是0
证|Xn-a|=|(-1)^n/(n+1)^2-0|=1/(n+1)^2<1/(n+1)
任意的ε>0（设ε<1)，只要
1/(n+1)<ε 或 n>1/ε-1
不等式|xn-a|<ε必定成立，所以，取N=【1/ε-1】,则当n>N时就有
|(-1)^n/(n+1)^2-0|<ε,即
Xn的极限是0

我数学基础不好，问的问题有点傻，请多包涵！
我想问的是，为什么要强调“不等式|xn-a|<ε必定成立”啊，而且它为什么必定成立啊？还有就是怎么判断n>N时就有
|(-1)^n/(n+1)^2-0|<ε啊，一点依据都没有啊
望高手点拨！

Answer 1

你不理解定义问题；极限说的就是任意给出一个ε>0，都能够找到一个N，使n取n>N时，有|Xn-a|<ε
关键就在于我们能否找出这个N，你所写的方法就是反推，用|Xn-a|<ε推n的范围再推N
具体点：
任意给出一个ε，ε>0（设ε<1)，只要1/(n+1)<ε，【根据|Xn-a|=|(-1)^n/(n+1)^2-0|=1/(n+1)^2<1/(n+1)<ε，得出|Xn-a|<ε】显然不等式|xn-a|<ε必定成立
1/(n+1)<ε 得 n>1/ε-1，这就可以取N=【1/ε-1】，当n>N>=1/ε-1,即1/(n+1)<ε，则不等式|xn-a|<ε必定成立
不懂接着问

Answer 2

不等式|xn-a|<ε必定成立？极限的定义要求这个不等式成立。
|xn-a|就是数列的项与a的距离。这个距离要求“要多小就有多小”。
而ε就是一个要多小就有多小的量。因此这个不等式必须成立我们
才有理由说xn的极限是a。问题是这个不等式什么时候成立呢？
这就要求解|xn－a|<ε这个不等式了。
对本题而言：|xn－a|=1/(n+1)^2，因此这个不等式就等价于求解
1/(n+1)^2<ε。这个不等式已经可以求解了，
n+1>1/根号(ε)，或者n>1/根号(ε)－1。这已经可以了。
但是很多题|xn－a|<ε这个不等式的求解很困难。
因此我们可以采用放缩的方法。像本题，
我知道1/(n+1)^2<1/(n+1)，如果1/(n+1)<ε成立，那么
|xn－a|=1/(n+1)^2<1/(n+1)<ε也就成立了，而
不等式1/(n+1)<ε容易求解。因此用定义以及以后的很多题
都是采用不等式的放缩技巧

Answer 3

应该吃透定义